与えられた積分を計算します。 (1) $\int \arcsin{x} dx$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^4 + 1} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

(1) $\int \arcsin{x} dx$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^4 + 1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \arcsin{x} dx$ は、部分積分を用いて計算します。

$u = \arcsin{x}$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int \arcsin{x} dx = x \arcsin{x} - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

$t = 1-x^2$ とすると、$dt = -2x dx$ となります。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$\int \arcsin{x} dx = x \arcsin{x} + \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^4 + 1} dx$ は、置換積分を用いて計算します。

$t = x^2$ とすると、$dt = 2x dx$ となります。

$x = 0$ のとき $t = 0$、$x = 1$ のとき $t = 1$ となります。

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^4 + 1} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{t^2 + 1} dt$

$\int \frac{1}{t^2 + 1} dt = \arctan{t} + C$ より、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{t^2 + 1} dt = \frac{1}{2} [\arctan{t}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (\arctan{1} - \arctan{0}) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\int \arcsin{x} dx = x \arcsin{x} + \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^4 + 1} dx = \frac{\pi}{8}$