定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^3+1}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^3+1}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$ であることを利用して、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

とおきます。両辺に $x^3+1$ をかけると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

したがって、以下の連立方程式を得ます。

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

第一式より $B = -A$

第二式に代入して $-A-A+C=0$ すなわち $C=2A$

第三式に代入して $A+2A = 1$ すなわち $3A=1$ よって $A = \frac{1}{3}$

したがって $B = -\frac{1}{3}$, $C = \frac{2}{3}$

よって、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$

積分を計算します。

$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1| + C_1$

$\int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{3}{2}}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + C_2$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C_2$

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^3+1} = \frac{1}{3} \left[ \ln|x+1| - \frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1$

$= \frac{1}{3} \left[ \left( \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 1 + \sqrt{3} \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} \right) - \left( \ln 1 - \frac{1}{2} \ln 1 + \sqrt{3} \arctan \frac{-1}{\sqrt{3}} \right) \right]$

$= \frac{1}{3} \left[ \ln 2 + \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \cdot (-\frac{\pi}{6}) \right]$

$= \frac{1}{3} \left[ \ln 2 + \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} \right] = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi \sqrt{3}}{9}$