与えられた $y = a \cos(b\theta + c)$ のグラフから、定数 $a, b, c$ および $p, q$ の値を求めます。ただし、$a>0$, $b>0$, $-\frac{\pi}{2} < c < 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた $y = a \cos(b\theta + c)$ のグラフから、定数 $a, b, c$ および $p, q$ の値を求めます。ただし、$a>0$, $b>0$, $-\frac{\pi}{2} < c < 0$ です。

2. 解き方の手順

まず、$a$ はグラフの振幅を表すので、グラフから $a = 2$ とわかります。

次に、グラフの周期を求めます。グラフは $\theta = -\frac{\pi}{12}$ で最大値をとり、$\theta = \frac{7\pi}{12}$ で次の最大値をとるので、周期は

$T = \frac{7\pi}{12} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}$

周期 $T$ と $b$ の関係は、$T = \frac{2\pi}{b}$ なので、

$b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 3$

したがって、$b = 3$ です。

次に、$c$ を求めます。$y = a \cos(b\theta + c)$ は、$y = a \cos(b(\theta + \frac{c}{b}))$ と書き換えられます。これは $y = a \cos(b\theta)$ を $\theta$ 軸方向に $-\frac{c}{b}$ だけ平行移動したものです。

グラフは $y = 2 \cos(3\theta)$ を $\theta$ 軸方向に$-\frac{\pi}{12}$だけ平行移動したものなので、

$-\frac{c}{3} = \frac{\pi}{12}$

$c = -\frac{\pi}{4}$

したがって、$c = -\frac{\pi}{4}$ です。

次に、$p$ を求めます。グラフの周期は$\frac{2\pi}{3}$であり、$\theta = \frac{7\pi}{12}$で最大値を取るので、次の最小値をとるのは$\theta=\frac{7\pi}{12} + \frac{1}{2}\times \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$です。

したがって$p = \frac{11\pi}{12}$

最後に、$q$ を求めます。$q$ は $y$ 軸との交点の $y$ 座標なので、$\theta = 0$ のときの $y$ の値を求めます。

$q = 2\cos(3(0) - \frac{\pi}{4}) = 2\cos(-\frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

したがって、$q = \sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 3$

$c = -\frac{\pi}{4}$

$p = \frac{11\pi}{12}$

$q = \sqrt{2}$