定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を簡略化します。分子 $x^3 + x + 1$ を分母 $x^2 + 1$ で割ります。

$x^3 + x + 1 = (x^2 + 1)x + 1$ と書けるので、

$\frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 1)x + 1}{x^2 + 1} = x + \frac{1}{x^2 + 1}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} dx = \int_{0}^{1} (x + \frac{1}{x^2 + 1}) dx$

積分を分けます。

$\int_{0}^{1} x dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx = [\arctan(x)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$