不定積分 $\int \cos^4(3x) \sin(3x) \, dx$ を求めよ。

わかりました。それでは、画像内の数学の問題を解いていきます。

**問題 7**

1. 問題の内容

不定積分 $\int \cos^4(3x) \sin(3x) \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を使って解きます。

$u = \cos(3x)$ と置くと、$du = -3 \sin(3x) \, dx$ となります。したがって、$\sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \, du$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \cos^4(3x) \sin(3x) \, dx = \int u^4 \left( -\frac{1}{3} \right) \, du = -\frac{1}{3} \int u^4 \, du$

積分を実行すると、

$-\frac{1}{3} \int u^4 \, du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = -\frac{u^5}{15} + C$

ここで、$u = \cos(3x)$ を代入すると、

$-\frac{\cos^5(3x)}{15} + C$

3. 最終的な答え

$\int \cos^4(3x) \sin(3x) \, dx = -\frac{\cos^5(3x)}{15} + C$

**問題 8**

1. 問題の内容

不定積分 $\int xe^{-x} \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。

$u = x$ , $dv = e^{-x} \, dx$ と置くと、$du = dx$ , $v = -e^{-x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int xe^{-x} \, dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \, dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} \, dx$

積分を実行すると、

$-xe^{-x} + \int e^{-x} \, dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$

3. 最終的な答え

$\int xe^{-x} \, dx = -(x+1)e^{-x} + C$

**問題 9**

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は三角関数で置換して解きます。

$x = \sqrt{2} \sin \theta$ と置くと、$dx = \sqrt{2} \cos \theta \, d\theta$ となります。

また、積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$\sqrt{2} \sin \theta = 0$ より $\theta = 0$

$x = 1$ のとき、$\sqrt{2} \sin \theta = 1$ より $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので $\theta = \frac{\pi}{4}$

したがって積分は次のようになります。

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \, dx = \int_0^{\pi/4} \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{\sqrt{2 - 2\sin^2 \theta}} \, d\theta = \int_0^{\pi/4} \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/4} \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{\sqrt{2} \cos \theta} \, d\theta = \int_0^{\pi/4} 1 \, d\theta$

積分を実行すると、

$\int_0^{\pi/4} 1 \, d\theta = [\theta]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \, dx = \frac{\pi}{4}$

**問題 10**

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^e x \log x \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。

$u = \log x$ , $dv = x \, dx$ と置くと、$du = \frac{1}{x} \, dx$ , $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int_1^e x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{e^2}{2} \log e - \frac{1^2}{2} \log 1 - \int_1^e \frac{x}{2} \, dx$

$= \frac{e^2}{2} - 0 - \frac{1}{2} \int_1^e x \, dx$

積分を実行すると、

$\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \int_1^e x \, dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\int_1^e x \log x \, dx = \frac{e^2 + 1}{4}$

**問題 11**

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^2 x \sqrt{4-x^2} \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を使って解きます。

$u = 4-x^2$ と置くと、$du = -2x \, dx$ となります。したがって、$x \, dx = -\frac{1}{2} \, du$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = 4 - 0^2 = 4$

$x = 2$ のとき、$u = 4 - 2^2 = 0$

したがって積分は次のようになります。

$\int_0^2 x \sqrt{4-x^2} \, dx = \int_4^0 \sqrt{u} \left( -\frac{1}{2} \right) \, du = -\frac{1}{2} \int_4^0 u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \int_0^4 u^{1/2} \, du$

積分を実行すると、

$\frac{1}{2} \int_0^4 u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^4 = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} (4)^{3/2} - 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\int_0^2 x \sqrt{4-x^2} \, dx = \frac{8}{3}$

**問題 12**

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{x+1}} \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を使って解きます。

$u = x+1$ と置くと、$du = dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = -1$ のとき、$u = -1 + 1 = 0$

$x = 1$ のとき、$u = 1 + 1 = 2$

したがって積分は次のようになります。

$\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{x+1}} \, dx = \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = \int_0^2 u^{-1/2} \, du$

積分を実行すると、

$\int_0^2 u^{-1/2} \, du = \left[ 2 u^{1/2} \right]_0^2 = 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{0} = 2 \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{x+1}} \, dx = 2\sqrt{2}$