$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \cos^3 x dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \cos^3 x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^3 x$ を変形します。

$\cos^3 x = \cos^2 x \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \cos^3 x dx = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} (1 - \sin^2 x) \cos x dx$

ここで、$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = -\frac{\pi}{3}$ のとき、$u = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$u = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (1 - u^2) du = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (1 - u^2) du$

$= \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^3}{3}\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^3}{3}\right)$

$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{3}\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{3}\right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8}$

$= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

$= \frac{4\sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}$

$= \frac{3\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{3}}{4}$