定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \cos 2x \cos 3x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \cos 2x \cos 3x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用します。

$\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$

この公式を適用すると、

$\cos 2x \cos 3x = \frac{1}{2} (\cos(2x+3x) + \cos(2x-3x)) = \frac{1}{2} (\cos 5x + \cos (-x)) = \frac{1}{2} (\cos 5x + \cos x)$

したがって、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \cos 2x \cos 3x \, dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{2} (\cos 5x + \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\cos 5x + \cos x) \, dx$

$\int \cos ax \, dx = \frac{1}{a} \sin ax + C$

より、

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\cos 5x + \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5} \sin 5x + \sin x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ (\frac{1}{5} \sin 5\pi + \sin \pi) - (\frac{1}{5} \sin \frac{5\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3}) \right]$

$\sin 5\pi = 0$, $\sin \pi = 0$

$\sin \frac{5\pi}{3} = \sin (2\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin (-\frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{2} \left[ (0 + 0) - (\frac{1}{5} (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2}) \right] = \frac{1}{2} \left[ 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{10} + \frac{5\sqrt{3}}{10}) \right] = \frac{1}{2} \left[ - (\frac{4\sqrt{3}}{10}) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{2\sqrt{3}}{5} \right] = -\frac{\sqrt{3}}{5}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{3}}{5}$