関数 $y = xe^{-2x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-2x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

ここで、$u = x$、$v = e^{-2x}$ とおきます。

まず、$u$ の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v$ の微分を計算します。

$v' = \frac{d}{dx}(e^{-2x})$

合成関数の微分を用いると、$v' = e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx}(-2x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$

したがって、$y' = u'v + uv' = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x}$

$e^{-2x}$ でくくると、

$y' = (1 - 2x)e^{-2x}$

3. 最終的な答え

$(1-2x)e^{-2x}$