関数 $y = \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ を微分せよ。ただし、$-1 < x < 1$である。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ を微分せよ。ただし、$-1 < x < 1$である。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を簡単にする。

$y = \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$

$y = \frac{1}{2} [\log (1-x) - \log (1+x)]$

次に、この式を$x$について微分する。

$\frac{dy}{dx} = y' = \frac{1}{2} \left[ \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} \right]$

$y' = \frac{1}{2} \left[ \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1-x)(1+x)} \right]$

$y' = \frac{1}{2} \left[ \frac{-1-x-1+x}{1-x^2} \right]$

$y' = \frac{1}{2} \left[ \frac{-2}{1-x^2} \right]$

$y' = \frac{-1}{1-x^2}$

$y' = \frac{-1}{-(x^2-1)}$

$y' = \frac{1}{x^2-1}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{x^2-1}$