関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、商の微分公式を用いる。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ で与えられるというものである。

この問題では、$u(x) = \log(x+1)$ と $v(x) = x$ である。

まず、$u(x)$ の微分を計算する。

$u'(x) = \frac{d}{dx} \log(x+1) = \frac{1}{x+1}$

次に、$v(x)$ の微分を計算する。

$v'(x) = \frac{d}{dx} x = 1$

商の微分公式を適用すると、

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x - \log(x+1) \cdot 1}{x^2}$

$y' = \frac{\frac{x}{x+1} - \log(x+1)}{x^2} = \frac{\frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x+1}}{x^2}$

$y' = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$

選択肢3が正解である。