関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分を行います。

$u = x \log x - x$ とおくと、$y = u^2$ となります。

すると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$となります。

$\frac{dy}{du} = 2u = 2(x \log x - x)$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求めます。

$u = x \log x - x$ なので、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \log x) - \frac{d}{dx}(x)$

積の微分法より、$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \log x + x \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

よって、$\frac{du}{dx} = (\log x + 1) - 1 = \log x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \log x$

3. 最終的な答え

$y' = 2(x \log x - x) \log x$

選択肢3が正解です。