関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成し、 $f(x) \geq \sqrt{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。ただし、$0 \leq x < 2\pi$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成し、 $f(x) \geq \sqrt{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。ただし、$0 \leq x < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を三角関数の合成により変形します。

$f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( -\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$

$= 2 \left( \cos \frac{2}{3}\pi \sin x + \sin \frac{2}{3}\pi \cos x \right) = 2 \sin \left( x + \frac{2}{3}\pi \right)$.

次に、不等式 $f(x) \geq \sqrt{2}$ を解きます。

$2 \sin \left( x + \frac{2}{3}\pi \right) \geq \sqrt{2}$

$\sin \left( x + \frac{2}{3}\pi \right) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$t = x + \frac{2}{3}\pi$ とおくと、$0 \leq x < 2\pi$ より、$\frac{2}{3}\pi \leq t < \frac{8}{3}\pi$ です。

$\sin t \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $t$ の範囲を求めます。

$\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{3\pi}{4}$ または $\frac{9\pi}{4} \leq t \leq \frac{11\pi}{4}$.

$t = x + \frac{2}{3}\pi$ を代入して、$x$ の範囲を求めます。

$\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{2}{3}\pi \leq \frac{3\pi}{4}$ より、$-\frac{5}{12}\pi \leq x \leq \frac{\pi}{12}$.

$0 \leq x < 2\pi$ を考慮すると、$0 \leq x \leq \frac{\pi}{12}$.

$\frac{9\pi}{4} \leq x + \frac{2}{3}\pi \leq \frac{11\pi}{4}$ より、$\frac{19}{12}\pi \leq x \leq \frac{25}{12}\pi$.

$\frac{19}{12}\pi \leq x < 2\pi$ であるから、$\frac{19}{12}\pi \leq x < 2\pi$.

したがって、求める範囲は $0 \leq x \leq \frac{\pi}{12}$, $\frac{19}{12}\pi \leq x < 2\pi$.

3. 最終的な答え

ア: 2

イ/ウ: 2/3

エ: 0

オ/カキ: 1/12

クケ/コサ: 19/12

シ: 2