問題は、与えられた3つの数列が単調増加数列であることを示し、さらに上に有界であるかどうかを調べることです。具体的には、以下の3つの数列について考えます。 (1) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ (2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$ (3) $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた3つの数列が単調増加数列であることを示し、さらに上に有界であるかどうかを調べることです。具体的には、以下の3つの数列について考えます。

(1) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

(2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$

(3) $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$ について

* 単調増加であること: $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ より、数列は単調増加。

* 上に有界であること: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ なので、$a_n = \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$。したがって、上に有界である。

(2) 数列 $b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ について

* 単調増加であること: $b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$ より、数列は単調増加。

* 上に有界であること: $b_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} = 1 + (1 - \frac{1}{n}) < 2$。したがって、上に有界である。実際には、この数列は$\frac{\pi^2}{6}$に収束することが知られています。

(3) 数列 $c_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ について

* 単調増加であること: $c_{n+1} - c_n = \frac{1}{n+1} > 0$ より、数列は単調増加。

* 上に有界であること: これは調和級数と呼ばれ、発散することが知られています。つまり、上に有界ではありません。証明はいくつかありますが、例えば、

$c_{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{2^{n-1}+1} + \dots + \frac{1}{2^n}) > 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{2^n} + \dots + \frac{1}{2^n}) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}$

したがって、$n$ を大きくすると $c_{2^n}$ も大きくなるため、上に有界ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 単調増加であり、上に有界である。

(2) 単調増加であり、上に有界である。

(3) 単調増加であるが、上に有界ではない。