関数 $f(x)$ が積分を含む方程式 $f(x) = 3x + 2\int_0^1 f(t) dt$ で定義されているとき、$f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が積分を含む方程式 $f(x) = 3x + 2\int_0^1 f(t) dt$ で定義されているとき、$f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^1 f(t) dt$ は定数であることに注目します。この定数を $A$ とおきます。

$$A = \int_0^1 f(t) dt$$

すると、$f(x)$ は次のように表されます。

$$f(x) = 3x + 2A$$

次に、$f(t) = 3t + 2A$ を $A$ の定義式に代入します。

$$A = \int_0^1 (3t + 2A) dt$$

積分を実行します。

$$A = \left[\frac{3}{2}t^2 + 2At\right]_0^1 = \frac{3}{2} + 2A$$

この式から $A$ を求めます。

$$A - 2A = \frac{3}{2}$$

$$-A = \frac{3}{2}$$

$$A = -\frac{3}{2}$$

最後に、$A = -\frac{3}{2}$ を $f(x) = 3x + 2A$ に代入します。

$$f(x) = 3x + 2\left(-\frac{3}{2}\right) = 3x - 3$$

3. 最終的な答え

$f(x) = 3x - 3$