広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) \, dx$ の収束・発散を調べます。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) \, dx$ の収束・発散を調べます。

2. 解き方の手順

広義積分 $\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$ の収束・発散を調べるには、$f(x)$ の積分区間における振る舞いを調べます。

まず、$0 \le 1 + \cos x \le 2$ であることに注意します。したがって、$xe^{-2x}(1 + \cos x) \ge 0$ です。

したがって、以下の積分を考えます。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} (1+\cos x) \, dx = \int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx + \int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x \, dx$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$ は部分積分を用いて計算できます。

$u=x$, $dv = e^{-2x}dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ なので、

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx = \left[ -\frac{1}{2}xe^{-2x} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{2} e^{-2x} dx$

$= \left[ -\frac{1}{2}xe^{-2x} \right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx$

$= 0 + \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{\infty}$

$= \frac{1}{2} \left( 0 - (-\frac{1}{2}) \right) = \frac{1}{4}$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x \, dx$ の絶対値は、$\int_{0}^{\infty} |xe^{-2x} \cos x| \, dx \le \int_{0}^{\infty} x e^{-2x} dx$ で抑えられ、$\int_{0}^{\infty} x e^{-2x} dx$ が収束するので、$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x \, dx$ も絶対収束し、収束します。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1+\cos x) \, dx$ は、収束する積分と収束する積分の和なので、収束します。

3. 最終的な答え

収束する