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与えられた三角関数の式を簡単にします。問題は全部で4つあります。 (1) $\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1}{\tan\theta}$ (2) $\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$ (3) $(\cos^2\theta - \cos^4\theta) + (\sin^2\theta - \sin^4\theta)$ (4) $\sin^6\theta + 3\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^6\theta$

解析学三角関数三角関数の恒等式式の簡略化
2025/8/1

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を簡単にします。問題は全部で4つあります。
(1) sin⁡θ1+cos⁡θ+1tan⁡θ\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1}{\tan\theta}
(2) cos⁡θ1+sin⁡θ+cos⁡θ1−sin⁡θ\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}
(3) (cos⁡2θ−cos⁡4θ)+(sin⁡2θ−sin⁡4θ)(\cos^2\theta - \cos^4\theta) + (\sin^2\theta - \sin^4\theta)
(4) sin⁡6θ+3sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡6θ\sin^6\theta + 3\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^6\theta

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ1+cos⁡θ+1tan⁡θ\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1}{\tan\theta} を簡単にします。
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} であるから、1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}となります。よって、
sin⁡θ1+cos⁡θ+1tan⁡θ=sin⁡θ1+cos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ=sin⁡2θ+cos⁡θ(1+cos⁡θ)sin⁡θ(1+cos⁡θ)=sin⁡2θ+cos⁡θ+cos⁡2θsin⁡θ(1+cos⁡θ)=1+cos⁡θsin⁡θ(1+cos⁡θ)=1sin⁡θ\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos\theta(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \frac{\sin^2\theta + \cos\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \frac{1}{\sin\theta}
(2) cos⁡θ1+sin⁡θ+cos⁡θ1−sin⁡θ\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} を簡単にします。
cos⁡θ1+sin⁡θ+cos⁡θ1−sin⁡θ=cos⁡θ(1−sin⁡θ)+cos⁡θ(1+sin⁡θ)(1+sin⁡θ)(1−sin⁡θ)=cos⁡θ−cos⁡θsin⁡θ+cos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ1−sin⁡2θ=2cos⁡θcos⁡2θ=2cos⁡θ\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} = \frac{\cos\theta(1-\sin\theta) + \cos\theta(1+\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)} = \frac{\cos\theta - \cos\theta\sin\theta + \cos\theta + \cos\theta\sin\theta}{1 - \sin^2\theta} = \frac{2\cos\theta}{\cos^2\theta} = \frac{2}{\cos\theta}
(3) (cos⁡2θ−cos⁡4θ)+(sin⁡2θ−sin⁡4θ)(\cos^2\theta - \cos^4\theta) + (\sin^2\theta - \sin^4\theta) を簡単にします。
(cos⁡2θ−cos⁡4θ)+(sin⁡2θ−sin⁡4θ)=cos⁡2θ+sin⁡2θ−(cos⁡4θ+sin⁡4θ)=1−(cos⁡4θ+sin⁡4θ)(\cos^2\theta - \cos^4\theta) + (\sin^2\theta - \sin^4\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta - (\cos^4\theta + \sin^4\theta) = 1 - (\cos^4\theta + \sin^4\theta).
ここで cos⁡4θ+sin⁡4θ=(cos⁡2θ+sin⁡2θ)2−2sin⁡2θcos⁡2θ=1−2sin⁡2θcos⁡2θ\cos^4\theta + \sin^4\theta = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta より、
1−(cos⁡4θ+sin⁡4θ)=1−(1−2sin⁡2θcos⁡2θ)=2sin⁡2θcos⁡2θ1 - (\cos^4\theta + \sin^4\theta) = 1 - (1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta) = 2\sin^2\theta\cos^2\theta
(4) sin⁡6θ+3sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡6θ\sin^6\theta + 3\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^6\theta を簡単にします。
sin⁡6θ+cos⁡6θ=(sin⁡2θ)3+(cos⁡2θ)3=(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(sin⁡4θ−sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡4θ)=sin⁡4θ−sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡4θ=(sin⁡2θ+cos⁡2θ)2−3sin⁡2θcos⁡2θ=1−3sin⁡2θcos⁡2θ\sin^6\theta + \cos^6\theta = (\sin^2\theta)^3 + (\cos^2\theta)^3 = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)(\sin^4\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^4\theta) = \sin^4\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta.
したがって、sin⁡6θ+3sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡6θ=(1−3sin⁡2θcos⁡2θ)+3sin⁡2θcos⁡2θ=1\sin^6\theta + 3\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^6\theta = (1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta) + 3\sin^2\theta\cos^2\theta = 1

3. 最終的な答え

(1) 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}
(2) 2cos⁡θ\frac{2}{\cos\theta}
(3) 2sin⁡2θcos⁡2θ2\sin^2\theta\cos^2\theta
(4) 11

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