(1) 曲線 $y = \log x$ と、$x$軸、$y$軸、および直線 $y = 2$ に囲まれた部分を、$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。 (2) 曲線 $C: \begin{cases} x = \cos 2t \\ y = \sin 2t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ の長さ $L$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = \log x$ と、$x$軸、$y$軸、および直線 $y = 2$ に囲まれた部分を、$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

(2) 曲線 $C: \begin{cases} x = \cos 2t \\ y = \sin 2t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ の長さ $L$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log x$ より $x = e^y$ である。求める体積 $V$ は、

$$$$

V = \pi \int_0^2 (e^y)^2 dy = \pi \int_0^2 e^{2y} dy

$$$$

$$$$

V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2y} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} e^0 \right) = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1)

$$$$

$$$$

V = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1) = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1)

$$$$

$V = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1)$なので、$\frac{\pi}{1}$ にあたる数字は$\frac{1}{2}$である。よって解答欄１には2が入る。

また、$e^{[]}$ にあたる数字は4なので、解答欄2には4が入る。

解答欄3には1が入る。

(2) $x = \cos 2t$, $y = \sin 2t$ より、

$$$$

\frac{dx}{dt} = -2 \sin 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 2 \cos 2t

$$$$

よって、曲線の長さ $L$ は、

$$$$

L = \int_0^\pi \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt = \int_0^\pi \sqrt{(-2 \sin 2t)^2 + (2 \cos 2t)^2} dt

$$$$

$$$$

L = \int_0^\pi \sqrt{4 \sin^2 2t + 4 \cos^2 2t} dt = \int_0^\pi \sqrt{4 (\sin^2 2t + \cos^2 2t)} dt

$$$$

$$$$

L = \int_0^\pi \sqrt{4} dt = \int_0^\pi 2 dt = [2t]_0^\pi = 2\pi

$$$$

したがって、$L = 2\pi$ なので、解答欄4には2が入る。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{\pi}{2}(e^4 - 1)$

解答欄1：2

解答欄2：4

解答欄3：1

(2) $L = 2\pi$

解答欄4：2