以下の4つの不定積分を求めます。 1) $\int \frac{dx}{2-5x}$ 2) $\int \frac{x}{x^2+4} dx$ 3) $\int \tan x dx$ 4) $\int \frac{dx}{x^2+4}$

1. 問題の内容

以下の4つの不定積分を求めます。

1) $\int \frac{dx}{2-5x}$

2) $\int \frac{x}{x^2+4} dx$

3) $\int \tan x dx$

4) $\int \frac{dx}{x^2+4}$

2. 解き方の手順

1) $\int \frac{dx}{2-5x}$

置換積分を行います。$u = 2-5x$ とすると、$du = -5 dx$ より $dx = -\frac{1}{5} du$ となります。

$\int \frac{dx}{2-5x} = \int \frac{1}{u} (-\frac{1}{5}) du = -\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{5} \ln |u| + C = -\frac{1}{5} \ln |2-5x| + C$

2) $\int \frac{x}{x^2+4} dx$

置換積分を行います。$u = x^2+4$ とすると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int \frac{x}{x^2+4} dx = \int \frac{1}{u} (\frac{1}{2}) du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |x^2+4| + C$

$x^2+4 > 0$ なので、絶対値記号は不要です。$\frac{1}{2} \ln (x^2+4) + C$

3) $\int \tan x dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ と書き換えます。

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

置換積分を行います。$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ より $\sin x dx = -du$ となります。

$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{1}{u} (-1) du = -\int \frac{1}{u} du = -\ln |u| + C = -\ln |\cos x| + C$

$\ln |\cos x|^{-1} + C = \ln |\sec x| + C$

4) $\int \frac{dx}{x^2+4}$

$\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{x^2+2^2}$

$x = 2 \tan \theta$ と置換します。$dx = 2 \sec^2 \theta d\theta$ となります。

$\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{2 \sec^2 \theta}{(2 \tan \theta)^2 + 4} d\theta = \int \frac{2 \sec^2 \theta}{4 \tan^2 \theta + 4} d\theta = \int \frac{2 \sec^2 \theta}{4 (\tan^2 \theta + 1)} d\theta = \int \frac{2 \sec^2 \theta}{4 \sec^2 \theta} d\theta = \int \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \theta + C$

$\tan \theta = \frac{x}{2}$ より $\theta = \arctan \frac{x}{2}$

$\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

1) $-\frac{1}{5} \ln |2-5x| + C$

2) $\frac{1}{2} \ln (x^2+4) + C$

3) $-\ln |\cos x| + C = \ln |\sec x| + C$

4) $\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$