(1) 関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} (x-t)\sin t dt$ を微分せよ。 (2) 等式 $\int_{2a}^{x} \frac{1}{t} f(t) dt = \log x + 2$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$x > 0$ とする。また、$f(t)=1$とする。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} (x-t)\sin t dt$ を微分せよ。

(2) 等式 $\int_{2a}^{x} \frac{1}{t} f(t) dt = \log x + 2$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$x > 0$ とする。また、$f(t)=1$とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$F(x)$ を展開する。

$F(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} (x \sin t - t \sin t) dt = x \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin t dt - \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} t \sin t dt$

$F(x) = x [-\cos t]_{\frac{\pi}{4}}^{x} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} t \sin t dt = x(-\cos x + \cos \frac{\pi}{4}) - \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} t \sin t dt$

ここで、部分積分 $\int t \sin t dt = \int t (-\cos t)' dt = -t \cos t - \int (1)(-\cos t) dt = -t \cos t + \int \cos t dt = -t \cos t + \sin t + C$を用いる。

したがって、$F(x) = -x \cos x + x \cos \frac{\pi}{4} - [-t \cos t + \sin t]_{\frac{\pi}{4}}^{x}$

$F(x) = -x \cos x + x \frac{\sqrt{2}}{2} - (-x \cos x + \sin x + \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4})$

$F(x) = -x \cos x + x \frac{\sqrt{2}}{2} + x \cos x - \sin x - \frac{\pi}{4} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$F(x) = x \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin x - \frac{\pi \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$F'(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x$

したがって、$F'(x) = -\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)

与えられた等式は、$\int_{2a}^{x} \frac{1}{t} f(t) dt = \log x + 2$

$f(t) = 1$ なので、

$\int_{2a}^{x} \frac{1}{t} dt = \log x + 2$

$[\log t]_{2a}^{x} = \log x + 2$

$\log x - \log(2a) = \log x + 2$

$-\log(2a) = 2$

$\log(2a) = -2$

$2a = e^{-2}$

$a = \frac{1}{2} e^{-2} = \frac{1}{2e^2}$

$a = \frac{1}{2e^2} = \frac{1}{2e^2}$

3. 最終的な答え

(1) $F'(x) = -\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $a = \frac{1}{2e^2}$