定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{1-3x}} dx$ を、$t = \sqrt{1-3x}$ という変数変換を用いて計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{1-3x}} dx$ を、$t = \sqrt{1-3x}$ という変数変換を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{1-3x}$ より、$t^2 = 1-3x$ となります。

この式を$x$について解くと、$3x = 1 - t^2$ より、

$x = \frac{1-t^2}{3}$

両辺を$t$で微分すると、

$\frac{dx}{dt} = \frac{-2t}{3}$

よって、

$dx = -\frac{2}{3}t \, dt$

次に積分範囲を変更します。

$x = -1$ のとき、$t = \sqrt{1-3(-1)} = \sqrt{4} = 2$

$x = 0$ のとき、$t = \sqrt{1-3(0)} = \sqrt{1} = 1$

したがって、積分は以下のように変換されます。

$\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{1-3x}} dx = \int_{2}^{1} \frac{\frac{1-t^2}{3}}{t} (-\frac{2}{3}t) dt = -\frac{2}{9}\int_{2}^{1} (1-t^2) dt$

積分の順序を入れ替えて符号を変えると、

$\frac{2}{9}\int_{1}^{2} (1-t^2) dt = \frac{2}{9} [t - \frac{t^3}{3}]_{1}^{2} = \frac{2}{9} [(2-\frac{8}{3}) - (1-\frac{1}{3})] = \frac{2}{9} [1 - \frac{7}{3}] = \frac{2}{9} [\frac{3-7}{3}] = \frac{2}{9} \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{27}$