## 問題の内容

## 問題の内容

1. 関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ について、導関数を求め、因数分解し、増減表を完成させる問題。

2. 国民所得 $Y$ が、消費 $C$、投資 $I$、政府支出 $G$ で $Y = C + I + G$ と表される経済モデルにおいて、$C = 0.9(Y-T)$、$I = 41$、$T = G + B$、$G = 50$、$B = 20$ の時の均衡国民所得 $Y$ を求める問題。

## 解き方の手順

1. 関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ について

* 導関数を求める:

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

よって、 1=3, 2=-12, 3=9

* 導関数を因数分解する:

$f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$

問題文に $(x-5)(x-6)$となっているため、1→5, 3→6とすれば良い。4=3

* 増減表を完成させる:

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ と $x = 3$ のとき。

$x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$ (増加)

$1 < x < 3$ のとき、$f'(x) < 0$ (減少)

$x > 3$ のとき、$f'(x) > 0$ (増加)

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ (極大)

$x = 3$ のとき、$f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$ (極小)

増減表を埋める。

x | ... | 1 | ... | 3 | ...

-- | -- | -- | -- | -- | --

$x-1$ | - | 0 | + | + | +

$x-3$ | - | - | - | 0 | +

$f'(x)$ | + | 0 | - | 0 | +

$f(x)$ | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加

よって、

7= +, 8=-, 9=+, 10=増加, 11=極大, 12=減少, 13=極小, 14=増加

2. 国民所得 $Y$ を求める:

$Y = C + I + G$

$C = 0.9(Y - T)$

$T = G + B$

$G = 50$

$B = 20$

これらを代入して $Y$ を求める。

$T = 50 + 20 = 70$

$C = 0.9(Y - 70)$

$Y = 0.9(Y - 70) + 41 + 50$

$Y = 0.9Y - 63 + 41 + 50$

$0.1Y = 28$

$Y = 280$

## 最終的な答え

1. 1=3, 2=-12, 3=9, 4=3, 5=1, 6=3, 7= +, 8=-, 9=+, 10=増加, 11=極大, 12=減少, 13=極小, 14=増加

2. 15=280

3. 16=?, 17=?, 18=? （グラフが読めないため省略）