数列 $a_n = (-\frac{1}{2})^n$ が与えられたとき、和 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_n = (-\frac{1}{2})^n$ が与えられたとき、和 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この和は、初項 $a_1 = -\frac{1}{2}$、公比 $(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$、項数 $n+1$ の等比数列の和である。

等比数列の和の公式は以下の通りである。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数である。

この問題の場合、$a = -\frac{1}{2}$、$r = \frac{1}{4}$、項数は $n+1$ なので、和は

$S_{n+1} = \frac{-\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{4})^{n+1})}{1-\frac{1}{4}} = \frac{-\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{4})^{n+1})}{\frac{3}{4}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} (1-(\frac{1}{4})^{n+1}) = -\frac{2}{3}(1-(\frac{1}{4})^{n+1})$

したがって、

$a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n+1} = -\frac{2}{3}(1-(\frac{1}{4})^{n+1})$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3}(1-(\frac{1}{4})^{n+1})$