与えられた4つの問題は、積分または微分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{\log x}{x} dx$ (2) $\int e^{-\frac{1}{2}x} dx$ (3) $(\log x)^2$ の微分 (4) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の微分

## 解答

1. 問題の内容

与えられた4つの問題は、積分または微分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{\log x}{x} dx$

(2) $\int e^{-\frac{1}{2}x} dx$

(3) $(\log x)^2$ の微分

(4) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の微分

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{\log x}{x} dx$

置換積分を行います。$u = \log x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

(2) $\int e^{-\frac{1}{2}x} dx$

置換積分を行います。$u = -\frac{1}{2}x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}$ より、$dx = -2 du$ となります。

したがって、

$\int e^{-\frac{1}{2}x} dx = \int e^u (-2) du = -2 \int e^u du = -2e^u + C = -2e^{-\frac{1}{2}x} + C$

(3) $(\log x)^2$ の微分

合成関数の微分を行います。

$\frac{d}{dx}(\log x)^2 = 2(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の微分

$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}$ と変形し、合成関数の微分を行います。

$\frac{d}{dx}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = -\frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x = -x(x^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{\log x}{x} dx = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

(2) $\int e^{-\frac{1}{2}x} dx = -2e^{-\frac{1}{2}x} + C$

(3) $\frac{d}{dx}(\log x)^2 = \frac{2 \log x}{x}$

(4) $\frac{d}{dx} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$