与えられた式 $\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1}{\tan\theta}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1}{\tan\theta}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$であることを用いて、$\frac{1}{\tan\theta}$を書き換えます。

$$\frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

したがって、与えられた式は

$$\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

となります。

次に、通分して分母を合わせます。

$$\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos\theta(1+\cos\theta)}{(1+\cos\theta)\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos\theta + \cos^2\theta}{(1+\cos\theta)\sin\theta}$$

ここで、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であることを用いると、

$$\frac{\sin^2\theta + \cos\theta + \cos^2\theta}{(1+\cos\theta)\sin\theta} = \frac{1 + \cos\theta}{(1+\cos\theta)\sin\theta}$$

$1 + \cos\theta \neq 0$ であることを仮定すると、$1 + \cos\theta$ で約分できます。

$$\frac{1 + \cos\theta}{(1+\cos\theta)\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta}$$

$\frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta$