$r \to 0$ の極限を求める問題です。 具体的には、以下の式の極限を計算します。 $\lim_{r \to 0} \left[xtan\theta + \frac{mgz}{r r_0 cos\theta} + \frac{m^2g}{r^2}log\left(1-\frac{rx}{mr_0cos\theta}\right) \right]$

1. 問題の内容

$r \to 0$ の極限を求める問題です。 具体的には、以下の式の極限を計算します。

$\lim_{r \to 0} \left[xtan\theta + \frac{mgz}{r r_0 cos\theta} + \frac{m^2g}{r^2}log\left(1-\frac{rx}{mr_0cos\theta}\right) \right]$

2. 解き方の手順

まず、対数関数をTaylor展開します。$log(1+x)$ の $x=0$ における Taylor 展開は $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ です。 ここで、$x$ を $-\frac{rx}{mr_0cos\theta}$ で置き換えます。 $r \to 0$ の極限を考えるので、 $r$ の高次の項は無視できます。

よって、

$log\left(1-\frac{rx}{mr_0cos\theta}\right) \approx -\frac{rx}{mr_0cos\theta} - \frac{1}{2} \left(\frac{rx}{mr_0cos\theta}\right)^2+...$

次に、与えられた式の第3項に代入します。

$\frac{m^2g}{r^2}log\left(1-\frac{rx}{mr_0cos\theta}\right) \approx \frac{m^2g}{r^2} \left( -\frac{rx}{mr_0cos\theta} - \frac{r^2 x^2}{2m^2r_0^2cos^2\theta} \right) = -\frac{mgx}{rr_0cos\theta} - \frac{gx^2}{2r_0^2cos^2\theta}$

したがって、全体の式は次のようになります。

$\lim_{r \to 0} \left[xtan\theta + \frac{mgz}{r r_0 cos\theta} -\frac{mgx}{rr_0cos\theta} - \frac{gx^2}{2r_0^2cos^2\theta} \right]$

$=\lim_{r \to 0} \left[xtan\theta + \frac{mg(z-x)}{r r_0 cos\theta} - \frac{gx^2}{2r_0^2cos^2\theta} \right]$

もし、 $z=x$ ならば、第2項は0になります。 その場合、

$\lim_{r \to 0} \left[xtan\theta - \frac{gx^2}{2r_0^2cos^2\theta} \right] = xtan\theta - \frac{gx^2}{2r_0^2cos^2\theta}$

もし、$z \ne x$ ならば、極限は発散します。 つまり極限は存在しません。

3. 最終的な答え

$z = x$ の場合: $xtan\theta - \frac{gx^2}{2r_0^2cos^2\theta}$

$z \neq x$ の場合: 極限は存在しない。