与えられた公式 $F[e^{-ax^2}] = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$ を用いて、以下の関数のフーリエ変換を求める。 (a) $e^{-\frac{x^2}{4}}$ (b) $xe^{-\frac{x^2}{4}}$ (c) $x^2e^{-\frac{x^2}{4}}$

1. 問題の内容

与えられた公式 $F[e^{-ax^2}] = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$ を用いて、以下の関数のフーリエ変換を求める。

(a) $e^{-\frac{x^2}{4}}$

(b) $xe^{-\frac{x^2}{4}}$

(c) $x^2e^{-\frac{x^2}{4}}$

2. 解き方の手順

(a) $e^{-\frac{x^2}{4}}$ のフーリエ変換

与えられた公式 $F[e^{-ax^2}] = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$ において、$a = \frac{1}{4}$ とすると、

$F[e^{-\frac{x^2}{4}}] = \sqrt{\frac{\pi}{\frac{1}{4}}}e^{-\frac{u^2}{4(\frac{1}{4})}} = \sqrt{4\pi}e^{-u^2} = 2\sqrt{\pi}e^{-u^2}$

(b) $xe^{-\frac{x^2}{4}}$ のフーリエ変換

$f(x) = e^{-\frac{x^2}{4}}$ のフーリエ変換を $F(u)$ とすると、$F(u) = 2\sqrt{\pi}e^{-u^2}$ である。

$xf(x)$ のフーリエ変換は $-\frac{1}{i}\frac{d}{du}F(u)$ で与えられる。

$-\frac{1}{i}\frac{d}{du}(2\sqrt{\pi}e^{-u^2}) = -2\sqrt{\pi}\frac{1}{i}(-2u)e^{-u^2} = \frac{4\sqrt{\pi}u}{i}e^{-u^2} = -4i\sqrt{\pi}ue^{-u^2}$

(c) $x^2e^{-\frac{x^2}{4}}$ のフーリエ変換

$x^2 f(x)$ のフーリエ変換は $-\frac{d^2}{du^2} F(u)$ で与えられる。

$\frac{d^2}{du^2}F(u) = \frac{d}{du}(\frac{d}{du}(2\sqrt{\pi}e^{-u^2})) = \frac{d}{du}(-4\sqrt{\pi}ue^{-u^2}) = -4\sqrt{\pi}(e^{-u^2} + u(-2u)e^{-u^2}) = -4\sqrt{\pi}(e^{-u^2} - 2u^2e^{-u^2}) = -4\sqrt{\pi}e^{-u^2}(1 - 2u^2) = 4\sqrt{\pi}e^{-u^2}(2u^2 - 1)$

したがって、$x^2e^{-\frac{x^2}{4}}$ のフーリエ変換は $-4\sqrt{\pi}(2u^2 - 1)e^{-u^2} = 4\sqrt{\pi}(1 - 2u^2)e^{-u^2}$

3. 最終的な答え

(a) $F[e^{-\frac{x^2}{4}}] = 2\sqrt{\pi}e^{-u^2}$

(b) $F[xe^{-\frac{x^2}{4}}] = -4i\sqrt{\pi}ue^{-u^2}$

(c) $F[x^2e^{-\frac{x^2}{4}}] = 4\sqrt{\pi}(1 - 2u^2)e^{-u^2}$