定積分 $\int_{1}^{2} \frac{dx}{e^x - 1}$ を、$t = e^x$ という変数変換を用いて計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{dx}{e^x - 1}$ を、$t = e^x$ という変数変換を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = e^x$ とおくと、$dt = e^x dx$ となります。したがって、$dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}$ です。

また、積分区間も変換する必要があります。

$x=1$ のとき、$t = e^1 = e$

$x=2$ のとき、$t = e^2$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{1}^{2} \frac{dx}{e^x - 1} = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{t - 1} \frac{dt}{t} = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{t(t - 1)} dt$$

被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{1}{t(t - 1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t - 1}$$

両辺に $t(t-1)$ をかけると、

$1 = A(t - 1) + Bt$

$1 = (A + B)t - A$

したがって、$A + B = 0$ かつ $-A = 1$ であるから、$A = -1$、$B = 1$。

よって、

$$\frac{1}{t(t - 1)} = -\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 1}$$

したがって、積分は

$$\int_{e}^{e^2} \left(-\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 1}\right) dt = \left[-\ln |t| + \ln |t - 1|\right]_{e}^{e^2} = \left[\ln \left|\frac{t - 1}{t}\right|\right]_{e}^{e^2}$$

$$= \ln \left(\frac{e^2 - 1}{e^2}\right) - \ln \left(\frac{e - 1}{e}\right) = \ln \left(\frac{e^2 - 1}{e^2} \cdot \frac{e}{e - 1}\right) = \ln \left(\frac{(e - 1)(e + 1)}{e^2} \cdot \frac{e}{e - 1}\right) = \ln \left(\frac{e + 1}{e}\right) = \ln \left(1 + \frac{1}{e}\right)$$

3. 最終的な答え

$\ln(1 + \frac{1}{e})$