(1) 楕円 $4x^2 + 9y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。 (2) 曲線 $C: \begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 楕円 $4x^2 + 9y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

(2) 曲線 $C: \begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 楕円 $4x^2 + 9y^2 = 1$ は、$\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ と変形できる。これは、半長軸 $a = \frac{1}{2}$、半短軸 $b = \frac{1}{3}$ の楕円である。楕円の面積は $S = \pi ab$ で計算できる。

$S = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$

(2) 曲線 $C$ は媒介変数表示されており、$x = \cos t$、$y = \sin t$ である。面積 $S$ は積分を用いて求める。

$S = \int_0^{\pi} y \frac{dx}{dt} dt$

$x = \cos t$ より、$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$S = \int_{\pi}^0 \sin t (-\sin t) dt = -\int_{\pi}^0 \sin^2 t dt$

積分の向きを反転させると

$S = \int_0^{\pi} \sin^2 t dt$

$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ より、

$S = \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (1 - \cos 2t) dt$

$S = \frac{1}{2} \left[ t - \frac{1}{2} \sin 2t \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right]$

$S = \frac{1}{2} (\pi - 0 - 0 + 0) = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{\pi}{6}$

(2) $S = \frac{\pi}{2}$