$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$において、2曲線 $y = \sin 2x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$において、2曲線 $y = \sin 2x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ の範囲で $\sin 2x$ と $\cos x$ の大小関係を調べます。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ であるため、

$\sin 2x - \cos x = 2 \sin x \cos x - \cos x = \cos x (2 \sin x - 1)$となります。

$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$の範囲では$\sin x \ge 0$ かつ $\cos x \le 0$ なので、

$\cos x \le 0$ であり、$2 \sin x - 1$ は正の値も負の値もとる可能性があります。

次に、$2 \sin x - 1 = 0$ となる $x$ を求めると、 $\sin x = \frac{1}{2}$ より $x = \frac{5\pi}{6}$ となります。

したがって、$\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ では $2 \sin x - 1 \ge 0$ なので $\cos x (2 \sin x - 1) \le 0$ となり、$y = \sin 2x \le y = \cos x$となります。

また、$\frac{5\pi}{6} \le x \le \pi$ では $2 \sin x - 1 \le 0$ なので $\cos x (2 \sin x - 1) \ge 0$ となり、$y = \sin 2x \ge y = \cos x$となります。

したがって、面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} (\cos x - \sin 2x) dx + \int_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi} (\sin 2x - \cos x) dx$

$\int (\cos x - \sin 2x) dx = \sin x + \frac{1}{2} \cos 2x + C$

$\int (\sin 2x - \cos x) dx = -\frac{1}{2} \cos 2x - \sin x + C$

$S = \left[ \sin x + \frac{1}{2} \cos 2x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} + \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x - \sin x \right]_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi}$

$S = \left( \sin \frac{5\pi}{6} + \frac{1}{2} \cos \frac{5\pi}{3} \right) - \left( \sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cos \pi \right) + \left( -\frac{1}{2} \cos 2\pi - \sin \pi \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos \frac{5\pi}{3} - \sin \frac{5\pi}{6} \right)$

$S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) - \left( 1 + \frac{1}{2} (-1) \right) + \left( -\frac{1}{2} (1) - 0 \right) - \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right)$

$S = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) - \left( -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{2}$