与えられたy方向の運動方程式の微分方程式を解き、一般解を求める。 微分方程式は $\frac{dv_y}{dt} = -\frac{g}{m} - \frac{\gamma}{m}v_y$ または $\frac{dv_y}{dt} + \frac{\gamma}{m}v_y = -g$ と表される。 この微分方程式の一般解は、 $v_y(t) = C_2e^{-\frac{\gamma}{m}t} - \frac{mg}{\gamma}$ (C2は積分定数) で与えられている。

1. 問題の内容

与えられたy方向の運動方程式の微分方程式を解き、一般解を求める。

微分方程式は

$\frac{dv_y}{dt} = -\frac{g}{m} - \frac{\gamma}{m}v_y$

または

$\frac{dv_y}{dt} + \frac{\gamma}{m}v_y = -g$

と表される。

この微分方程式の一般解は、

$v_y(t) = C_2e^{-\frac{\gamma}{m}t} - \frac{mg}{\gamma}$ (C2は積分定数)

で与えられている。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、１階線形非同次微分方程式である。

$\frac{dv_y}{dt} + \frac{\gamma}{m}v_y = -g$

まず、同次方程式を解く。

$\frac{dv_y}{dt} + \frac{\gamma}{m}v_y = 0$

$\frac{dv_y}{v_y} = -\frac{\gamma}{m}dt$

両辺を積分する。

$\int \frac{dv_y}{v_y} = \int -\frac{\gamma}{m}dt$

$\ln |v_y| = -\frac{\gamma}{m}t + C_1$

$v_y = e^{-\frac{\gamma}{m}t + C_1} = e^{C_1}e^{-\frac{\gamma}{m}t} = Ce^{-\frac{\gamma}{m}t}$ (Cは任意定数)

次に、非同次方程式の特殊解を求める。$v_y = A$ (定数)とおくと、

$\frac{d}{dt}(A) + \frac{\gamma}{m}A = -g$

$0 + \frac{\gamma}{m}A = -g$

$A = -\frac{mg}{\gamma}$

したがって、一般解は、

$v_y(t) = Ce^{-\frac{\gamma}{m}t} - \frac{mg}{\gamma}$

積分定数Cを$C_2$で置き換えると、

$v_y(t) = C_2e^{-\frac{\gamma}{m}t} - \frac{mg}{\gamma}$

3. 最終的な答え

$v_y(t) = C_2e^{-\frac{\gamma}{m}t} - \frac{mg}{\gamma}$