定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x+1)^2(x-2)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x+1)^2(x-2)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{x^2}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-2}$$

両辺に $(x+1)^2(x-2)$ を掛けると、

$$x^2 = A(x+1)(x-2) + B(x-2) + C(x+1)^2$$

$$x^2 = A(x^2-x-2) + B(x-2) + C(x^2+2x+1)$$

$$x^2 = (A+C)x^2 + (-A+B+2C)x + (-2A-2B+C)$$

係数を比較すると、

$$A+C = 1$$

$$-A+B+2C = 0$$

$$-2A-2B+C = 0$$

最初の式から $C = 1-A$ を得ます。これを2番目と3番目の式に代入すると、

$$-A+B+2(1-A) = 0 \Rightarrow -3A+B = -2$$

$$-2A-2B+(1-A) = 0 \Rightarrow -3A-2B = -1$$

連立方程式を解きます。

$$-3A+B = -2 \Rightarrow B = 3A-2$$

$$-3A-2(3A-2) = -1$$

$$-3A-6A+4 = -1$$

$$-9A = -5$$

$$A = \frac{5}{9}$$

$$B = 3\left(\frac{5}{9}\right)-2 = \frac{5}{3}-2 = \frac{5-6}{3} = -\frac{1}{3}$$

$$C = 1 - A = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$$

よって、

$$\frac{x^2}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{5/9}{x+1} + \frac{-1/3}{(x+1)^2} + \frac{4/9}{x-2}$$

積分を計算します。

$$\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x+1)^2(x-2)} dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{5/9}{x+1} + \frac{-1/3}{(x+1)^2} + \frac{4/9}{x-2} \right) dx$$

$$= \left[ \frac{5}{9} \ln|x+1| + \frac{1}{3(x+1)} + \frac{4}{9} \ln|x-2| \right]_{0}^{1}$$

$$= \left( \frac{5}{9} \ln 2 + \frac{1}{6} + \frac{4}{9} \ln 1 \right) - \left( \frac{5}{9} \ln 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \ln 2 \right)$$

$$= \frac{5}{9} \ln 2 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} - \frac{4}{9} \ln 2$$

$$= \frac{1}{9} \ln 2 + \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{9} \ln 2 - \frac{1}{6}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{9} \ln 2 - \frac{1}{6}$