$\sin \alpha = \frac{2}{3}$, $\sin \beta = \frac{3\sqrt{5}}{7}$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin \alpha = \frac{2}{3}$, $\sin \beta = \frac{3\sqrt{5}}{7}$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\cos \beta$ を計算する。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ なので、$\cos \alpha > 0$。よって、

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

同様に、$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{3\sqrt{5}}{7})^2 = 1 - \frac{9 \cdot 5}{49} = 1 - \frac{45}{49} = \frac{4}{49}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ なので、$\cos \beta < 0$。よって、

$\cos \beta = - \sqrt{\frac{4}{49}} = - \frac{2}{7}$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$ を計算する。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$= (\frac{2}{3})(-\frac{2}{7}) + (\frac{\sqrt{5}}{3})(\frac{3\sqrt{5}}{7}) = -\frac{4}{21} + \frac{3 \cdot 5}{21} = -\frac{4}{21} + \frac{15}{21} = \frac{11}{21}$

次に、$\cos 2\alpha$ を計算する。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{11}{21}$

$\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$