$0 \le \theta < \pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 2\theta + \cos 2\theta + 1$ の最大値と最小値を求め、それぞれの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < \pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 2\theta + \cos 2\theta + 1$ の最大値と最小値を求め、それぞれの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を変形します。$\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta$ であるから、

$$y = 1 - \cos^2 2\theta + \cos 2\theta + 1 = - \cos^2 2\theta + \cos 2\theta + 2$$

ここで、$t = \cos 2\theta$ とおくと、$y = -t^2 + t + 2$ となります。

$0 \le \theta < \pi$ より、$0 \le 2\theta < 2\pi$ であるから、$-1 \le \cos 2\theta \le 1$ となり、$t$ の範囲は $-1 \le t \le 1$ です。

$y = -t^2 + t + 2$ を平方完成すると、

$$y = -(t^2 - t) + 2 = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 2 = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$$

この関数は、上に凸な放物線であり、頂点の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ です。

$-1 \le t \le 1$ の範囲で、$y$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$ をとり、$t = -1$ のとき最小値 $-(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$ をとります。

最大値をとるとき、$t = \cos 2\theta = \frac{1}{2}$ です。$0 \le 2\theta < 2\pi$ より、$2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ となるため、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$。

最小値をとるとき、$t = \cos 2\theta = -1$ です。$0 \le 2\theta < 2\pi$ より、$2\theta = \pi$ となるため、$\theta = \frac{\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$ をとり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最小値 $0$ をとる。

ア: 6

イ: 5

ウ: 6

エ: 9

オ: 4

カ: 2

キ: 0