## 問題の解答

## 問題の解答

###

1. 問題の内容

問題1.8[A]では、数列の和を求める問題、等比級数の和を求める問題、そして無限等比級数の収束・発散を調べる問題が出されています。

問題1:

(1) $a_i = i$ のときの $S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = 1+2+...+n$ を $n$ の式で表す。

(2) $a_i = i^2$ のときの $S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = 1^2+2^2+...+n^2$ を $n$ の式で表す。

(3) $a_i = i^3$ のときの $S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = 1^3+2^3+...+n^3$ を $n$ の式で表す。

問題2:

次の等比級数の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

(1) $1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{n-1}$

(2) $2 + \frac{4}{3} + \frac{8}{9} + \frac{16}{27} + ... + \frac{2^n}{3^{n-1}}$

問題3:

次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束すればその和を求める。

(1) $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - ...$

(2) $\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} + ...$

(3) $1 - 1 + 1 - 1 + ...$

問題1.8[B]では、級数 $\sum a_n$ が収束するとき、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を示す問題が出されています。

###

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) 等差数列の和の公式を用いる。初項1、末項n、項数nなので、

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

(2) $S_n = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (公式)

(3) $S_n = \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ (公式)

**問題2**

(1) 初項1、公比2の等比数列の和なので、

$S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

(2) 初項2、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列の和なので、

$S_n = \frac{2 \left( (\frac{2}{3})^n - 1 \right)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2 \left( (\frac{2}{3})^n - 1 \right)}{-\frac{1}{3}} = -6 \left( (\frac{2}{3})^n - 1 \right) = 6 - 6 (\frac{2}{3})^n$

**問題3**

(1) 初項1、公比 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ の等比数列。公比の絶対値は1より小さいので収束する。

収束値は、 $\frac{1}{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{2} = 2 - \sqrt{2}$

(2) 初項$\sqrt{3}$、公比$\sqrt{3}$ の等比数列。公比の絶対値は1より大きいので発散する。

(3) 初項1、公比-1の等比数列。公比の絶対値は1なので発散する。（振動する）

**問題1.8[B]**

級数 $\sum a_n$ が収束すると仮定する。

このとき、部分和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ は、ある値 $S$ に収束する。つまり、$\lim_{n \to \infty} S_n = S$。

また、$\lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S$。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S - S = 0$。

###

3. 最終的な答え

**問題1**

(1) $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

(2) $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

(3) $S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

**問題2**

(1) $S_n = 2^n - 1$

(2) $S_n = 6 - 6 (\frac{2}{3})^n$

**問題3**

(1) 収束し、和は $2 - \sqrt{2}$

(2) 発散する

(3) 発散する

**問題1.8[B]**

級数 $\sum a_n$ が収束するとき、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ が成り立つ。