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与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です。特に(1)では、$m<0$、$n \le m$、$0 \le m < n$ の場合に分けて、$x^m$ の$n$次導関数を求めます。(2), (3), (4)についても同様に$n$次導関数を求めます。

解析学導関数微分高階導関数関数
2025/7/31

1. 問題の内容

与えられた関数について、nn次導関数を求める問題です。特に(1)では、m<0m<0、n≤mn \le m、0≤m<n0 \le m < n の場合に分けて、xmx^m のnn次導関数を求めます。(2), (3), (4)についても同様にnn次導関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) f(x)=xmf(x) = x^m の場合
* f′(x)=mxm−1f'(x) = m x^{m-1}
* f′′(x)=m(m−1)xm−2f''(x) = m(m-1) x^{m-2}
* f′′′(x)=m(m−1)(m−2)xm−3f'''(x) = m(m-1)(m-2) x^{m-3}
一般に、nn次導関数は次のようになります。
f(n)(x)=m(m−1)(m−2)...(m−n+1)xm−nf^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1) x^{m-n}
これは、
f(n)(x)=m!(m−n)!xm−nf^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!} x^{m-n}
とも書けますが、mmが整数とは限らないので、階乗の記号は使わずに、
f(n)(x)=m(m−1)(m−2)...(m−n+1)xm−nf^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1) x^{m-n}
と書きます。
* m<0m < 0 のとき：
f(n)(x)=m(m−1)(m−2)...(m−n+1)xm−nf^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1) x^{m-n}
* n≤mn \le m のとき：
f(n)(x)=m(m−1)(m−2)...(m−n+1)xm−nf^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1) x^{m-n}
* 0≤m<n0 \le m < n のとき：
f(n)(x)=m(m−1)(m−2)...(m−n+1)xm−nf^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1) x^{m-n}
(2) f(x)=11+x=(1+x)−1f(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} の場合
* f′(x)=−1(1+x)−2f'(x) = -1(1+x)^{-2}
* f′′(x)=(−1)(−2)(1+x)−3=2(1+x)−3f''(x) = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}
* f′′′(x)=2(−3)(1+x)−4=−6(1+x)−4f'''(x) = 2(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}
一般に、nn次導関数は次のようになります。
f(n)(x)=(−1)nn!(1+x)−n−1=(−1)nn!(1+x)n+1f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-n-1} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}
(3) f(x)=11−x=(1−x)−1f(x) = \frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1} の場合
* f′(x)=−1(1−x)−2(−1)=(1−x)−2f'(x) = -1(1-x)^{-2} (-1) = (1-x)^{-2}
* f′′(x)=−2(1−x)−3(−1)=2(1−x)−3f''(x) = -2(1-x)^{-3} (-1) = 2(1-x)^{-3}
* f′′′(x)=−3(2)(1−x)−4(−1)=6(1−x)−4f'''(x) = -3(2)(1-x)^{-4} (-1) = 6(1-x)^{-4}
一般に、nn次導関数は次のようになります。
f(n)(x)=n!(1−x)−n−1=n!(1−x)n+1f^{(n)}(x) = n! (1-x)^{-n-1} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}
(4) f(x)=1(1−x)2=(1−x)−2f(x) = \frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2} の場合
* f′(x)=−2(1−x)−3(−1)=2(1−x)−3f'(x) = -2(1-x)^{-3}(-1) = 2(1-x)^{-3}
* f′′(x)=−3(2)(1−x)−4(−1)=6(1−x)−4f''(x) = -3(2)(1-x)^{-4}(-1) = 6(1-x)^{-4}
* f′′′(x)=−4(6)(1−x)−5(−1)=24(1−x)−5f'''(x) = -4(6)(1-x)^{-5}(-1) = 24(1-x)^{-5}
一般に、nn次導関数は次のようになります。
f(n)(x)=(n+1)!(1−x)−n−2=(n+1)!(1−x)n+2f^{(n)}(x) = (n+1)! (1-x)^{-n-2} = \frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}

3. 最終的な答え

(1) f(n)(x)=m(m−1)(m−2)...(m−n+1)xm−nf^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1) x^{m-n}
(2) f(n)(x)=(−1)nn!(1+x)n+1f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}
(3) f(n)(x)=n!(1−x)n+1f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}
(4) f(n)(x)=(n+1)!(1−x)n+2f^{(n)}(x) = \frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}

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