与えられた関数について、指定された点における接線の方程式を求める問題です。 (1) $y = 2x + 1$ (任意の点) (2) $y = x^2 + 5x$ ($x = -3$) (3) $y = x^3 - x + 1$ ($x = 1$) (4) $y = \frac{2x}{x+1}$ ($x = 1$) (5) $y = \sqrt{x}$ ($x = 2$)

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された点における接線の方程式を求める問題です。

(1) $y = 2x + 1$ (任意の点)

(2) $y = x^2 + 5x$ ($x = -3$)

(3) $y = x^3 - x + 1$ ($x = 1$)

(4) $y = \frac{2x}{x+1}$ ($x = 1$)

(5) $y = \sqrt{x}$ ($x = 2$)

2. 解き方の手順

接線の方程式は、$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$ で表されます。ここで、$x_0$ は与えられた点の x 座標、$y_0 = f(x_0)$ はその点の y 座標、$f'(x_0)$ はその点における関数の微分係数（傾き）です。

各関数について、以下の手順で接線の方程式を求めます。

* 微分 $f'(x)$ を計算する。

* 与えられた $x$ 座標 $x_0$ を用いて、$y_0 = f(x_0)$ を計算する。

* $x_0$ を $f'(x)$ に代入して、$f'(x_0)$ (傾き) を計算する。

* 求めた $x_0$, $y_0$, $f'(x_0)$ を接線の方程式 $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$ に代入し、整理する。

(1) $y = 2x + 1$ (任意の点)

$f'(x) = 2$

任意の点を $(x_0, y_0)$ とすると、$y_0 = 2x_0 + 1$。

$f'(x_0) = 2$。

接線の方程式は $y - (2x_0 + 1) = 2(x - x_0)$。

整理すると $y = 2x + 1$。（直線なのでどこで接線を取っても元の直線と同じ）

(2) $y = x^2 + 5x$ ($x = -3$)

$f'(x) = 2x + 5$

$x_0 = -3$ なので、$y_0 = (-3)^2 + 5(-3) = 9 - 15 = -6$。

$f'(-3) = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1$。

接線の方程式は $y - (-6) = -1(x - (-3))$。

整理すると $y + 6 = -x - 3$, よって $y = -x - 9$。

(3) $y = x^3 - x + 1$ ($x = 1$)

$f'(x) = 3x^2 - 1$

$x_0 = 1$ なので、$y_0 = (1)^3 - (1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$。

$f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$。

接線の方程式は $y - 1 = 2(x - 1)$。

整理すると $y - 1 = 2x - 2$, よって $y = 2x - 1$。

(4) $y = \frac{2x}{x+1}$ ($x = 1$)

$f'(x) = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

$x_0 = 1$ なので、$y_0 = \frac{2(1)}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$。

$f'(1) = \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

接線の方程式は $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$。

整理すると $y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$, よって $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$。

(5) $y = \sqrt{x}$ ($x = 2$)

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$x_0 = 2$ なので、$y_0 = \sqrt{2}$。

$f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$。

接線の方程式は $y - \sqrt{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(x - 2)$。

整理すると $y = \frac{1}{2\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x + 1$

(2) $y = -x - 9$

(3) $y = 2x - 1$

(4) $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

(5) $y = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$