与えられた多項式 $x + 2x^2 + 4x^5 + 8x + 16x^9 + 4$ を積分する問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x + 2x^2 + 4x^5 + 8x + 16x^9 + 4$ を積分する問題を解きます。

2. 解き方の手順

多項式を積分するには、各項を個別に積分します。積分公式は $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ です。ここで、$C$ は積分定数です。

与えられた多項式は $x + 2x^2 + 4x^5 + 8x + 16x^9 + 4$ です。

まず、多項式を整理します。

$x + 8x = 9x$ より、多項式は $9x + 2x^2 + 4x^5 + 16x^9 + 4$ となります。

各項を積分します。

$\int 9x dx = \frac{9x^2}{2} + C_1$

$\int 2x^2 dx = \frac{2x^3}{3} + C_2$

$\int 4x^5 dx = \frac{4x^6}{6} = \frac{2x^6}{3} + C_3$

$\int 16x^9 dx = \frac{16x^{10}}{10} = \frac{8x^{10}}{5} + C_4$

$\int 4 dx = 4x + C_5$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (9x + 2x^2 + 4x^5 + 16x^9 + 4) dx = \frac{9x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^6}{3} + \frac{8x^{10}}{5} + 4x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5$ は新しい積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{8x^{10}}{5} + \frac{2x^6}{3} + \frac{2x^3}{3} + \frac{9x^2}{2} + 4x + C$