不定積分 $\int \frac{\cos x}{\sqrt{4\sin x + 5}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{\cos x}{\sqrt{4\sin x + 5}} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行うことを考えます。$t = 4\sin x + 5$ と置換すると、

$\frac{dt}{dx} = 4\cos x$

となるので、

$dt = 4\cos x dx$

$\cos x dx = \frac{1}{4} dt$

と表せます。

したがって、与えられた積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{\cos x}{\sqrt{4\sin x + 5}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{4} dt = \frac{1}{4} \int t^{-1/2} dt$

ここで、

$\int t^{-1/2} dt = \frac{t^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C$

なので、

$\frac{1}{4} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{4} (2\sqrt{t}) + C = \frac{1}{2}\sqrt{t} + C$

最後に、$t = 4\sin x + 5$ を代入すると、

$\frac{1}{2}\sqrt{4\sin x + 5} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\sqrt{4\sin x + 5} + C$