関数 $z = (x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2)$ に対して、$0 < x^2 + y^2$ の範囲で偏微分 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する。

1. 問題の内容

関数 $z = (x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2)$ に対して、$0 < x^2 + y^2$ の範囲で偏微分 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\partial z}{\partial x}$ を計算する。積の微分法則を適用する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 1) \frac{\partial}{\partial x} \log(x^2 + y^2)$

$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 1) = 2x$

$\frac{\partial}{\partial x} \log(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \log(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 1) \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \log(x^2 + y^2) + \frac{2x(x^2 + y^2 - 1)}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \log(x^2 + y^2) + 2x - \frac{2x}{x^2 + y^2}$

次に、$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する。同様に積の微分法則を適用する。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 1) \frac{\partial}{\partial y} \log(x^2 + y^2)$

$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 - 1) = 2y$

$\frac{\partial}{\partial y} \log(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \log(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 1) \frac{2y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \log(x^2 + y^2) + \frac{2y(x^2 + y^2 - 1)}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \log(x^2 + y^2) + 2y - \frac{2y}{x^2 + y^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \log(x^2 + y^2) + 2x - \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \log(x^2 + y^2) + 2y - \frac{2y}{x^2 + y^2}$