$(\frac{2}{3})^{50}$ は小数第何位に初めて 0 でない数が現れるかを求める問題です。

1. 問題の内容

$(\frac{2}{3})^{50}$ は小数第何位に初めて 0 でない数が現れるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

常用対数を用いて計算します。

まず、$x = (\frac{2}{3})^{50}$ とおきます。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}x = \log_{10}(\frac{2}{3})^{50} = 50 \log_{10}(\frac{2}{3}) = 50(\log_{10}2 - \log_{10}3)$

ここで、$\log_{10}2 \approx 0.3010$, $\log_{10}3 \approx 0.4771$ なので、

$\log_{10}x \approx 50(0.3010 - 0.4771) = 50(-0.1761) = -8.805$

$\log_{10}x = -8.805 = -9 + (1 - 0.805) = -9 + 0.195$

したがって、$x = 10^{-9} \times 10^{0.195}$ と表せます。

$10^{0.195}$ は 1 と 10 の間なので、 $1 \le 10^{0.195} < 10$ です。

$10^{-9}$ は小数第9位に初めて0でない数があらわれることを意味します。

3. 最終的な答え

小数第 9 位