定積分 $\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、この積分は逆三角関数を用いて計算できます。具体的には、$x = 3\sin\theta$ と置換積分を行います。

$x = 3\sin\theta$ より、$dx = 3\cos\theta d\theta$ です。

また、積分範囲も変わります。

$x=0$ のとき、$3\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

$x=\frac{3}{2}$ のとき、$3\sin\theta = \frac{3}{2}$ より $\sin\theta = \frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

よって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{3\cos\theta}{\sqrt{9-9\sin^2\theta}} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{3\cos\theta}{\sqrt{9(1-\sin^2\theta)}} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{3\cos\theta}{3\sqrt{\cos^2\theta}} d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{3\cos\theta}{3\cos\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta$

$= [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$