関数 $f(x) = e^{2x}$ について、曲線 $C: y = f(x)$ 上の2点 $(0, 1)$ と $(1, e^2)$ を通る直線を $l$ とする。 (1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{2x}$ について、曲線 $C: y = f(x)$ 上の2点 $(0, 1)$ と $(1, e^2)$ を通る直線を $l$ とする。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

2点 $(0, 1)$ と $(1, e^2)$ を通る直線の傾きは、

$\frac{e^2 - 1}{1 - 0} = e^2 - 1$ である。

したがって、直線 $l$ の方程式は、

$y - 1 = (e^2 - 1)(x - 0)$

$y = (e^2 - 1)x + 1$

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

求める面積は、積分を用いて次のように表せる。

$S = \int_0^1 ((e^2 - 1)x + 1 - e^{2x}) dx$

$= [(e^2 - 1)\frac{x^2}{2} + x - \frac{1}{2}e^{2x}]_0^1$

$= \frac{e^2 - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2}e^2 - (0 + 0 - \frac{1}{2})$

$= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} + 1 - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}$

$= 1$

3. 最終的な答え

(1) $l$ の方程式: $y = (e^2 - 1)x + 1$

(2) 面積: $1$