関数 $y = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta + \cos \theta$ について、$t = \sin \theta + \cos \theta$ とおく。 (1) $y$ を $t$ で表す。 (2) $-\pi \leq \theta \leq 0$ における $t$ の範囲を求める。 (3) $y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta + \cos \theta$ について、$t = \sin \theta + \cos \theta$ とおく。

(1) $y$ を $t$ で表す。

(2) $-\pi \leq \theta \leq 0$ における $t$ の範囲を求める。

(3) $y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ より、$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

よって、$\sin \theta \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2}$

$y = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta + \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2} + t = \frac{1}{2} t^2 + t - \frac{1}{2}$

(2) $t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$-\pi \leq \theta \leq 0$ より、$-\frac{3\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4}$

したがって、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq 1$

よって、$-1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) $y = \frac{1}{2} t^2 + t - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t^2 + 2t) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t+1)^2 - 1$

$y$ は $t=-1$ のとき最小値 $-1$ をとる。

$t = -1 = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ より、 $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$-\frac{3\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4}$ より、$\theta + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}$

$\theta = -\frac{\pi}{2}, -\pi$

$y$ は $t = \sqrt{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)^2 - 1 = \frac{1}{2}(2 + 2\sqrt{2} + 1) - 1 = \frac{3}{2} + \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{2} + \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$ をとる。

$t = \sqrt{2} = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ より、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ これは、$-\pi \leq \theta \leq 0$を満たさないので不適である。

$t = \sqrt{2}$に対応する$\theta$は存在しない.

$t$ の範囲は $-1 \leq t \leq \sqrt{2}$ である。

$t = \sqrt{2}$に近い値での$y$の値を考える。

$\theta = 0$の時、$t = 1$、$y = \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = 1$

$\theta = -\pi$の時、$t = -1$、$y = \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{2} = -1$

$\theta = -\frac{\pi}{2}$の時、$t = -1$、$y = -1$

$t = 1$の時、$y = 1$である。

$t=-1$の時、$y=-1$である。

よって、$\theta = 0$の時、最大値$1$をとる。

3. 最終的な答え

ア: 1, イ: 2, ウ: 1, エ: 2

オ: -1, カ: √2

キ: 0, ク: 1

ケ: -1/2, コサ: -1, シ: 1, スセ: -1