曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, -1)$ における接線の方程式と、それ以外の接線の接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, -1)$ における接線の方程式と、それ以外の接線の接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^3 - x$ の微分を求めます。

$y' = 3x^2 - 1$

(2) 点 $(1, -1)$ における接線の傾きを求めます。

$y'(1) = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$

(3) 点 $(1, -1)$ における接線の方程式を求めます。接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1) = (1, -1)$ であり、$m = 2$ です。したがって、接線の方程式は、

$y - (-1) = 2(x - 1)$

$y + 1 = 2x - 2$

$y = 2x - 3$

(4) 接線の方程式が $y = 2x - 3$ のとき、接点は $(1, -1)$ です。

(5) 点 $(a, a^3 - a)$ における接線の方程式を求めます。

接線の傾きは $y'(a) = 3a^2 - 1$ です。

接線の方程式は、

$y - (a^3 - a) = (3a^2 - 1)(x - a)$

$y = (3a^2 - 1)x - 3a^3 + a + a^3 - a$

$y = (3a^2 - 1)x - 2a^3$

この直線が $(1, -1)$ を通るので、

$-1 = (3a^2 - 1)(1) - 2a^3$

$-1 = 3a^2 - 1 - 2a^3$

$2a^3 - 3a^2 = 0$

$a^2(2a - 3) = 0$

$a=0$ または $a=\frac{3}{2}$

$a = 0$ のとき、接点の座標は $(0, 0)$ です。

このときの接線の方程式は、

$y = (3(0)^2 - 1)x - 2(0)^3 = -x$

$a = \frac{3}{2}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^3 - \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{27}{8} - \frac{12}{8}) = (\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$ です。

このときの接線の方程式は、

$y = (3(\frac{3}{2})^2 - 1)x - 2(\frac{3}{2})^3 = (3 \cdot \frac{9}{4} - 1)x - 2 \cdot \frac{27}{8} = (\frac{27}{4} - \frac{4}{4})x - \frac{27}{4} = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$

(6) したがって、接線の方程式が $y = -x$ のとき、接点の座標は $(0, 0)$ です。また、接線の方程式が $y = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$ です。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = 2x - 3$ のとき、接点は $(1, -1)$。

接線の方程式が $y = -x$ のとき、接点は $(0, 0)$。

接線の方程式が $y = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$ のとき、接点は $(\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$。