定積分 $\int_1^e x^3 \log x \, dx$ を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^e x^3 \log x \, dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

$u = \log x$, $dv = x^3 dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^4}{4}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

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\int_1^e x^3 \log x \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^3}{4} \, dx

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ここで、

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\left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_1^e = \frac{e^4}{4} \log e - \frac{1^4}{4} \log 1 = \frac{e^4}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{e^4}{4}

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また、

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\int_1^e \frac{x^3}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_1^e x^3 \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^e = \frac{1}{4} \left( \frac{e^4}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^4}{16} - \frac{1}{16}

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したがって、

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\int_1^e x^3 \log x \, dx = \frac{e^4}{4} - \left( \frac{e^4}{16} - \frac{1}{16} \right) = \frac{4e^4}{16} - \frac{e^4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3e^4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3e^4 + 1}{16}

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3. 最終的な答え

$\frac{3e^4 + 1}{16}$