$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\pi - 4x}{\tan x - 1}$ を求めよ。

## 問題と解答

以下に、提示された問題の解答を示します。

### (2) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\pi - 4x}{\tan x - 1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 ($\frac{0}{0}$ 型) であるため、ロピタルの定理を適用します。

* 分子を $f(x) = \pi - 4x$ とおくと、$f'(x) = -4$

* 分母を $g(x) = \tan x - 1$ とおくと、$g'(x) = \sec^2 x$

よって、ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\pi - 4x}{\tan x - 1} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-4}{\sec^2 x}$

$x = \frac{\pi}{4}$ を代入すると、$\sec \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$ なので、$\sec^2 \frac{\pi}{4} = 2$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-4}{\sec^2 x} = \frac{-4}{2} = -2$

3. 最終的な答え

-2

### (3) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - e^{x^2}}{\sin x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限も不定形 ($\frac{0}{0}$ 型) であるため、ロピタルの定理を適用します。

* 分子を $f(x) = \cos 2x - e^{x^2}$ とおくと、$f'(x) = -2\sin 2x - 2xe^{x^2}$

* 分母を $g(x) = \sin x$ とおくと、$g'(x) = \cos x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - e^{x^2}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin 2x - 2xe^{x^2}}{\cos x}$

ここで、再び$x = 0$ を代入すると、$\frac{0}{1} = 0$となります。

3. 最終的な答え

0

### (4) の問題

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ の第 3 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ の指数で表します。

$y = x^{-1/2}$

次に、各階導関数を求めます。

* $y' = -\frac{1}{2} x^{-3/2}$

* $y'' = \frac{3}{4} x^{-5/2}$

* $y''' = -\frac{15}{8} x^{-7/2}$

したがって、第 3 次導関数は次のようになります。

$y''' = -\frac{15}{8} x^{-7/2} = -\frac{15}{8\sqrt{x^7}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{15}{8\sqrt{x^7}}$

### (6) の問題

1. 問題の内容

$\int (1-\frac{2}{x})(1+\frac{1}{x}) dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(1-\frac{2}{x})(1+\frac{1}{x}) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2} = 1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} = 1 - \frac{1}{x} - 2x^{-2}$

次に、積分を行います。

$\int (1 - \frac{1}{x} - 2x^{-2}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x} dx - 2\int x^{-2} dx = x - \ln|x| - 2\frac{x^{-1}}{-1} + C = x - \ln|x| + \frac{2}{x} + C$

3. 最終的な答え

$x - \ln|x| + \frac{2}{x} + C$

### (1) と (5) の問題

問題文が不明瞭であるため、解答できません。

$\lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 1}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}$ だと仮定して(1)を解くと、

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 1}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = t^6$とおくと、$x\to1$のとき$t\to1$だから、

$\lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 1}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}$ = $\lim_{t \to 1}\frac{t^{18} - 1}{t^3-t^2}$ = $\lim_{t \to 1}\frac{(t-1)(t^{17}+t^{16}+...+t+1)}{(t-1)t^2}$ = $\lim_{t \to 1}\frac{t^{17}+t^{16}+...+t+1}{t^2}$ = $\frac{18}{1} = 18$

3. 最終的な答え

18