定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この定積分を計算するために、部分積分を用います。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここで、$u = x$ と $dv = \cos x \, dx$ とおくと、

$du = dx$ と $v = \int \cos x \, dx = \sin x$ となります。

したがって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx = \left[x \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$$

$$= \left(\frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} - 0 \sin 0\right) - \left[-\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \left(\frac{\pi}{2} \cdot 1 - 0\right) - \left(-\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0)\right)$$

$$= \frac{\pi}{2} - (-0 + 1)$$

$$= \frac{\pi}{2} - 1$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - 1$