次の関数を積分します。 $\qquad (x + \frac{1}{x})^2$

## (1) の問題

1. 問題の内容

次の関数を積分します。

$\qquad (x + \frac{1}{x})^2$

2. 解き方の手順

まず、関数を展開します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + x^{-2}$

次に、各項を積分します。

$\qquad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\qquad \int 2 dx = 2x + C_2$

$\qquad \int x^{-2} dx = -x^{-1} + C_3 = -\frac{1}{x} + C_3$

したがって、積分は次のようになります。

$\qquad \int (x + \frac{1}{x})^2 dx = \int (x^2 + 2 + x^{-2}) dx = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\qquad \int (x + \frac{1}{x})^2 dx = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

## (4) の問題

1. 問題の内容

次の関数を積分します。

$\qquad \tan x + \frac{1}{\tan x}$

2. 解き方の手順

まず、 $\frac{1}{\tan x}$ を $\cot x$ で置き換えます。

$\qquad \int (\tan x + \cot x) dx$

次に、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ と $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ であることを利用して、積分を書き換えます。

$\qquad \int (\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}) dx$

$\qquad = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} dx$

$\qquad = \int \frac{1}{\sin x \cos x} dx$

$\qquad = \int \frac{2}{2 \sin x \cos x} dx$

$\qquad = 2 \int \frac{1}{\sin 2x} dx = 2 \int \csc 2x dx$

$\qquad = 2 \cdot \frac{-1}{2} \ln |\csc 2x + \cot 2x| + C$

$\qquad = -\ln |\csc 2x + \cot 2x| + C$

または、別の表現として、

$\qquad \int (\tan x + \cot x) dx = \int \tan x dx + \int \cot x dx$

$\qquad = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx + \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

$\qquad = -\ln|\cos x| + \ln|\sin x| + C$

$\qquad = \ln|\frac{\sin x}{\cos x}| + C$

$\qquad = \ln|\tan x| + C$

これらの二つの答えは、恒等式を用いて関連付けることができます。

3. 最終的な答え

$\qquad \int (\tan x + \frac{1}{\tan x}) dx = \ln|\tan x| + C$

または

$\qquad \int (\tan x + \frac{1}{\tan x}) dx = -\ln |\csc 2x + \cot 2x| + C$