曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点から $(1, 0)$ に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点から $(1, 0)$ に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 $(t, t^2 + 2t + 1)$ における接線を求めます。

$y' = 2x + 2$ なので、接線の傾きは $2t + 2$ です。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(x - t)$

となります。

この接線が点 $(1, 0)$ を通るので、

$0 - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(1 - t)$

$-t^2 - 2t - 1 = 2t + 2 - 2t^2 - 2t$

$-t^2 - 2t - 1 = 2 - 2t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3$ または $t = -1$

(i) $t = 3$ のとき、接点は $(3, 3^2 + 2 \cdot 3 + 1) = (3, 16)$ です。

接線の傾きは $2 \cdot 3 + 2 = 8$ なので、接線の方程式は

$y - 16 = 8(x - 3)$

$y = 8x - 24 + 16$

$y = 8x - 8$

(ii) $t = -1$ のとき、接点は $(-1, (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1) = (-1, 0)$ です。

接線の傾きは $2 \cdot (-1) + 2 = 0$ なので、接線の方程式は

$y - 0 = 0(x - (-1))$

$y = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y=8x-8$ のとき、接点は $(3,16)$

接線の方程式が $y=0$ のとき、接点は $(-1,0)$