次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{3}{x\sqrt{2x-9}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{3}{x\sqrt{2x-9}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$u = \sqrt{2x-9}$ と置換する。すると、$u^2 = 2x-9$ より、 $2x = u^2+9$ となり、$x = \frac{u^2+9}{2}$ である。

このとき、$2u du = 2 dx$ より、$dx = u du$ となる。

したがって、積分は次のようになる。

$\int \frac{3}{x\sqrt{2x-9}} dx = \int \frac{3}{\frac{u^2+9}{2} \cdot u} u du = \int \frac{3 \cdot 2}{u^2+9} du = 6 \int \frac{1}{u^2+9} du$

$\int \frac{1}{u^2+a^2} du = \frac{1}{a} \arctan{\frac{u}{a}} + C$ を用いる。

この場合、$a = 3$ なので、

$6 \int \frac{1}{u^2+9} du = 6 \cdot \frac{1}{3} \arctan{\frac{u}{3}} + C = 2 \arctan{\frac{u}{3}} + C$

最後に、$u = \sqrt{2x-9}$ を代入して、

$2 \arctan{\frac{\sqrt{2x-9}}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$2 \arctan{\frac{\sqrt{2x-9}}{3}} + C$